观察是进行任何一种科学活动所必须的首要步骤，不少伟大的科学家(包括数学家)都把“观察，观察，再观察”作为自己的座右铭．观察是人们的一种行为动作．通过观察，把外部事物的各种信息反映到人的大脑里．但这绝不是一种机械的条件反射，伴随着观察同时会发生一系列的心理活动，如注意、感知、记忆、想象等，而且其中一定还存在着积极的思维活动．观察本身不是一种独立解数学题的思维方法，但它是产生数学思想方法的基础．高质量的观察能迅速合理地产生好的数学思想方法．因此，观察作为解题的第一步显得特别重要，不能把它与数学解题的思维分割开．
良好的心理素质和合理的观察，是一种数学能力和品质．为形成良好的思维品质，应该从观察做起．人们常说：“眼睛是心灵的窗户”，而观察的好坏则决定这扇“窗户”能否充分地敞开．当然观察不是消极的注视，而是解题者有目的、有计划地对数学问题中的各种信息和特点的直觉感受，从中发现并获取必要的信息．当观察的信息比较熟悉，与自己掌握的解题模式很接近，与自己的认知结构相合拍，那么解题者立即就进入试探过程，大部分这类问题便可很快获解．
观察与试探可从以下几方面入手．
一、观察问题的数字特征
数学离不开数字，我们学过的数字有很多的特征是可利用的，如整数、无理数、质数、勾股数、数的组成、数的整除性、数与方程及数与函数的关系等等．只要仔细观察，发现数字间的内在联系，往往能找到解决问题的突破口．
例3 已知三角形的三边分别为108、144、180．求此三角形的最大角．
思路分析 本题用余弦定理计算比较麻烦．若认真观察数字间的特征：108∶144∶180=3∶4∶5，由勾股定理的逆定理即可知此三角形为直角三角形，所以最大角是90°．
项数，于是可进行如下试探：
二、注意观察式的特征
问题所给的各类式子中出现的一些关系与形式，常常可给问题的求解指出探索的思路．
思路分析 一般观察可断定用判别式法，但若再仔细观察则可发现分子能写成4(x＋1)2+9，分母能写成6(x+1)，这类关系能否利用，不妨作一试探：
例6 设
A=(2+1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216+1)(232+1)(264＋1)．
求A的末位数字．
思路分析 此题若企图把等式右边各个因数相乘是极不现实的．观察所给的式子特征，容易想到用(2-1)乘等式两边进行试探：
(2-1)A=(2-1)(2＋1)(22+1)…(264＋1)
=2128-1=(24)32-1=1632-1．
因1632的末位数字是6，所以A的末位数字是5．
思路分析 如果仔细对已知等式进行观察，注意到a1、a2、a3、a4为非零实数，就可把等式看成为以a4为未知数的方程，且此方程有实根，于是
此题还可将已知等式展开，应用配方知识解答．
例8 已知x、y∈R．且x2＋y2=4，求x+y的最大值和最小值．
思路分析 观察已知式知它表示一个以原点为圆心，以2为半径的圆(如图2-1)，于是问题转化为当点(x，y)在圆上运动时，x+y=b在y轴上的截距b的最值问题．再借助于图形进一步观察，可得结论：当且仅当直线x＋y=b运动到l1位置与圆相切时，取得最大值；运动到l2
三、注意观察图形特征
注意观察图形特征，可以发现图形中隐含的重要的关系，同时也有利于运用数形结合方法，在解题中获得优解．
例9 如图2-2，A是半径为1的⊙O外一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分面积等于( )．
思路分析 观察图形特征，连结OC、OB，发现△BOC与△ABC有相同的底和高，其面积相等．于是S阴影=S弓形BmC＋S△ABC-S弓形BmC＋S△BOC=S扇形BOC．
而要求S扇形BOC，关键是求∠BOC，再观察图形知：在Rt△AOB中，由已知条件得∠OAB=30°．因而可知∠CBO=∠BOA=60°．所
例10 平面上有两点A(-1，0)、B(1，0)，在圆周(x-3)2＋(y-4)2=4上取一点P，求使AP2＋BP2最小时点P的坐标．
思路分析 观察图2-3知：PO为△PAB的边AB上的中线，所以AP2＋BP2=2OP2＋2OB2=2OP2＋2．OP最小时，AP2+BP2也最小，因此连结点O和圆心O′的线段与圆的交点，即为所求的点P．解方程组
例11 已知抛物线y=x2+2kx-k＋1(k∈R)在x轴上的两个交点分别在区间(0，1)与(1，2)内．求k的取值．
思路分析 可设想有一条满足条件的抛物线如图2-4．观察图形，由于抛物线开口向上，故k应满足
所以k的值不存在．
四、观察关键词句和条件
在数学问题的叙述中，关键词句和条件往往是解题的钥匙．通过观察，挖掘出叙述问题的关键词句和条件，并了解它们的意义，就易于发现解题的方向，其“巧”就会由此而生．
例12 已知a、b、c互不相等．求证：
思路分析 本题条件“a、b、c互不相等”便是解题思路来源的关键词句．将等式看成关于x的二次方程，精细观察可发现a、b、c为该方程的根，因a、b、c互不相等，说明这个关于x的“二次方程”有三个相异的根，这就说明原式不是普通方程，而是恒等式．
思路分析 注意到“范围”这个关键词，由此想到把问题转化为不等式求解．
五、观察问题的结构特征
仔细观察问题的结构特征，便会联想有关的公式、定理、证题方法等，也就找到了沟通已知与未知的捷径．
例14 在实数范围内解方程
思路分析 一个方程两个变量，一般有无穷多解．但若观察
例15 在△ABC中，求证：
b2+c2-2bccos(A+60°)
=c2+a2-2cacos(B+60°)．
思路分析 由观察知式子的结构与余弦定理相似．于是启发我们构造△ABC，并在△ABC外部分别以AB、AC为边作正△ABE和正△ACD(如图2-5)，易知△ABD≌△AEC，所以BD=CE．而在△ABD中，BD2=b2＋c2-2bccos(A＋60°)，在△ACE中，CE2=c2＋a2-2cacos(B＋60°)，因此b2＋c2-2bccos(A＋60°)=c2＋a2-2cacos(B＋60°)．
思路分析 从不同角度观察可得到不同的解法．
方法1 观察f(x)表达式的结构特征，发现它近似于两个两点间距离公式的和，于是将其变形为
作图2-6并观察图形特征，可看出f(x)表示x轴上的动点P(x，0)到两定点A(0，3)、B(5，-2)的距离之和．显然此距离之和在线段AB所在的直线y=-x+3与x轴交点Q(3，0)处取到最小，
方法2 由f(x)表达式的结构特征，联想到两个复数的模的和，问题又可利用复数法求解．
六、观察异同特征
如能观察到问题中的各种差异，并设法消除差异，或者是发现问题中式子间的共同特征，找出一般规律，就能找到解题的途径．
于0的复数．证明：｜z1+A｜｜z2+A｜=｜A｜2．
思路分析 待证式左边=｜z1z2＋Az1+Az2＋A2｜，观察它的前三项与条件式，发现它们的差异
仅在于z2和A有无共轭记号．利用复数模的性质，设法消除这种差异，于是得
例18 已知P点的坐标(x，y)满足
(x-a)cosθ1＋ysinθ1=a，①
(x-a)cosθ2＋ysinθ2=a，②
思路分析 观察可发现①、②两式结构相同，由此知θ1、θ2是关于θ的方程(x-a)cosθ＋ysinθ=a
的两个根．再观察此方程与另一
根，用韦达定理即可求解．
例19 若a＋b-c=0，证明直线系ax＋by＋c=0恒过一定点．
思路分析 观察条件式和直线系方程的异同．可将直线系方程化为-ax-by-c=0，与条件式比较，易知点(-1，-1)在直线系上，故知直线系恒过定点(-1，-1)．
七、注意观察发现隐含条件
几乎所有的题目都不会直接地把与解题有关的全部信息明确显示出来．因而，隐含条件的发掘是问题解决的关键．而要发现隐含条件，只有通过仔细观察．
思路分析 通过观察可以发现题目隐含着m、n异号且n≠0．
例21 若2A＋2B＋C=0，试求直线Ax+By+C=0被抛物线y2=2x所截得的中点轨迹方程．
思路分析 观察题目条件，发现隐含着直线过点P(2，2)．又P(2，2)也在y2=2x上，这样如果设所截弦中点坐标为M(x，y)，则直线与抛物线另一交点为Q(2x-2，2y-2)．又Q在抛物线上，所以(2y-2)2=2(2x-2)．因此(y-1)2=(x-1)即为所求．
例22 在实数范围内，设
则x的个位数字是( )．
(A)1； (B)2； (C)4； (D)6．
思路分析 本题已知条件中隐含着(a-2) (｜a｜-1)≥0且(a-2)(1-｜a｜)≥0的重要求解信息．
由于(a-2)(｜a｜-1)=-(a-2)(1-｜a｜)，
所以有(a-2)(｜a｜-1)=0．解得a1=2，a2=1，a3=-1．而a1＝2，a2=1使x的表达式分母为零，故只有a3=-1合题意．此时
所以x的个位数字是6．
八、注意掌握观察问题的方式与步骤
在观察探索时，可行且有效的步骤是：整体
局部
特殊．从一般到特殊，从全局到细节的反复观察，利干发现新的信息．
例23 如图2-7，已知正方形OEFG的一个顶点与正方形ABCD中心O重合．如果两个正方形的边长都是a，OE、OG分别交AD、AB于M、N，求两个正方形重叠部分OMAN(即阴影部分)的面积S．
思路分析 整体上看是两个全等的正方形，局部上看是求四边形OMAN的面积．考虑特殊情况：虚线正方形，其中OP⊥AB交于P，
的面积，只需证Rt△OPN≌Rt△OQM，这样，解题思路和方向就清楚了．
例24 已知在△ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点
m1＋m2+…+m100的值．
思路分析 从整体来看待求式m1＋m2＋…＋m100的项数多，可猜想各项间必有规律，为发现这一
规律，我们观察特殊点．
抓住关键词“100个不同点”，考虑Pi恰取B或C时，易知有AB2=AC2=4．再看一特例：取BC中点M，
有AM2＋BM·CM=AB2-BM2＋BM·CM=AB2=4．由此可猜想mi均为4(i=1，…，100)，且从上面的特例可
找到解题方法：
对任一点Pi，如图2-8可知
故m1＋m2＋…＋m100=400．
九、注意改换观察问题的角度
有些问题，如能根据题中所提供的信息，不断地改变观察角度，往往能越过“思维障碍”，突破解题难关，获得“柳暗花明又一村”的效果．
例25 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，两对角线AC、BD交于E，过C点作CP∥BD交AD的延长线于P．求证：S△AEP=S△ABD．
思路分析 从图2-9可看出，此题无法通过全等三角形证明，必须通过面积变换．
首先，由△ABD与△ACD等底等高，知S△ABD=S△ACD．为证结论，只须证S△AEP=S△ACD．
再由△AEP与△ACD中有△ADE为公共部分，为证上述结论，只需证S△DEF=S△DEC．
这时我们转换观察图形的角度，又可发现△DEP与△DEC也等底(DE)且等高(BD、CP间的距离)，故证明的思路沟通．
例26 正三棱台A′B′C′-ABC的上、下两底边之比为2∶3，截面ABC′与A′BC′把此三棱台分成三个三棱锥(如图2-10)．求这三个三棱锥的体积之比．
思路分析 此题初看似乎无从下手，若改变视角，两两相比，则可获解．观察三棱锥B-A′B′C′
与C′-ABC，可看出它们的高相等，故体积之比等于其底面面积之比，于是有
VB-A抇B抇C抇∶VC—-ABC=S△A抇B抇C抇∶S△ABC=A′B′2:AB2=4∶9再改变
观察角度：把三棱锥B-A′
B′C′看成以C′为顶点，以A′B′B为底面的三棱锥C′-A′B′B，而C′-A′B′B又与三棱锥
C′-A′AB的高相等，其体积之比等于底面面积之比，于是有VC—-A抇B抇B∶VC—-A抇AB=S△
A抇B抇B:S△A抇AB=A′B′∶AB=2:3=4∶6．所以三个三棱锥体积之比为
VC—-A抇B抇B:VC—-A抇AB:VC—-ABC=4:6∶9．
练习
3．已知数列｛an｝的前五项是1，2，4，7，11．试写出这个数列的一个通项公式．
(提示：因为a2-a1=2-1=1，a3-a2=4-2=2，…，an-an-1=n-1，把上
5．已知(x-3)2＋(y＋4)2=25．求x2＋y2的最大值．
(提示：已知式是一个以(3，-4)为圆心，以5为半径的圆．问题转化为在圆上求点P(x，y)使x2＋y2达到最大．又因为x2+y2=
最大，显然圆上到原点距离最大的点在直径上，且最大距离为圆直径10，故x2+y2最大值为100．)
6．正方形的边长为a，以各边为直径在形内画半圆．求所围成的图形(如图2-12中阴影部分)的面积．
(提示：阴影部分面积等于四个相等半圆的面积减去正方形的面
7．证明：方程(x-a)(x-a-b)=1有两个相异实根，且一根大于a，另一根小于a．
(提示：原方程化为x2-(2a+b)x＋a(a+b)-1=0．令y=x2-(2a＋b)x＋a(a＋b)-1，其图象是一条开口
向上的抛物线(如图2-13)．当x=a时，y=-1＜0，故知抛物线与x轴有两个交点，且分布在点(a，0)两
侧，所以方程有两相异实根，且一根大于a，另一根小于a．)
8．以正方体的8个顶点中的4个顶点为顶点，可作成多少个三棱锥？
9．已知a、b、c互不相等．求证：
且易知-a、-b、-c为方程的三个不等根，故此方程必为恒等式．)
10．如图2-14，在三棱锥P-ABC中，PA=a，AB=AC=2a，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°．求三棱锥P-ABC的体积．
(提示：可证PA⊥PB，PA⊥PCPA⊥平面PBC，由此求得
11．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC
(提示：以平面PAD去割P-ABC得两个三棱锥B-PAD与C-PAD，
12．将(2a-b-c)3+(2b-c-a)3+(2c-a-b)3分解因式．
(提示：观察式子结构，联想以下结论：若x+y＋z=0，则x3+y3+z3=3xyz．由于(2a-b-c)＋(2b-c-a)+(2c-a-b)=0，故有(2a-b-c)3＋(2b-c-a)3+(2c-a-b)3=3(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)．)
原式=a2x4＋(2ac-b2)x2＋c2=(ax2＋bx＋c)(ax2-bx＋c)=0．)
14．设a、b、x、y均为正数，且x2＋y2=1．试证：
(提示：设z1=ax+byi，z2=bx+ayi，则左边=｜z1｜+｜z2｜≥｜
15．已知 sinα=m·sniβ，tanα=n· tanβ(α、β为锐角，α≠β)．求证：
17．已知 a＞0，f(x)=a(x2＋1)，g(x)＝(1-2a)x．则当 f(x)≥g(x)时，求a的取值范围．
(提示：f(x)-g(x)=a(x2+1)-(1-2a)x=ax2＋(2a-1)x＋a．已知a＞0，所以二次曲线开口向上，要
使二次三项式永远大于
f(x)≥g(x)．)
