【解法 1】两人40分钟共行了多少米？

　　5 320-1520=3 800（米）

　　两人的速度和是多少？

　　3 800÷40=95（米）

　　两人再走几分钟相遇？

　　1520÷95=16（分钟）

　　综合算式： 1520÷[（5 320-1520）÷40]

　　=1520÷[3 800÷40]

　　=1520÷95=16（分钟）。

【分析2】先求出两人的速度和，再求出两人从开始行到相遇共用多少分钟，再减去共行的40分钟，即得再走的相遇时间。

【解法 2】两人的速度和是多少？

　　（5 320-1520）÷40=95（米）

　　两人走全程共需多少分钟？

　　5320÷95=56（分钟）

　　再走几分钟两人相遇？

　　56-40=16（分钟）

　　综合算式： 5320÷[（5320-1520）÷40]-40

　　=5320÷[3800÷40]-40

　　=5320÷95-40=56-40=16（分钟）.

【分析3】先求出已走的路程是再走路程的几倍，再用40分钟除以这个倍数，即得两人再走所需的时间.

【解法3】两人已走了多少米？

　　5320-1520=3800（米）

　　已走路程是再走路程的几倍？

　　3800÷1520=2.5（倍）

　　再走几分钟两人相遇？

　　40÷2.5=16（分钟）

　　综合算式： 40÷[（5320-1520）÷1520]

　　=40÷[3800÷1520]

　　=40÷2.5=16（分钟）.

【分析4】因为两地距离÷相遇时间=速度和，而两人速度和不变，所以两地距离和相遇时间成正比例.

【解法4】设再走x分钟两人相遇.

　　（5320-1520）∶40=1520∶x]

　　3800∶40=1520∶

　　x=

　　x=16

　　答：两人再走16分钟后相遇.

【评注】解法1是一般解法，易于理解和掌握，但计算较繁些.解法3的思路简明，运算也不繁，是本题的较好解法.同时，由解法3的思路还可推想出运用分数应用题的解法，或运用比的知识解题，读者可试试.

 例5 甲乙两车分别从两城相对开出，甲车每小时行33千米，乙车每小时行28千米.甲车开出2小时后，乙车出发，经3小时相遇.两城相距多少千米？

【分析1】甲车先开2小时所行的路程，加上两车同时开3小时所行的路程，所得的和就是两城相距多少千米.

【解法1】甲车2小时行了多少千米？

　　33×2=66（千米）

　　甲乙两车同时开3小时共行多少千米？

　　（33+28）×3=61×3=183（千米）

　　两城相距多少千米？

　　66+183=249（千米）

　　综合算式： 33×2+（33+28）×3

　　=33×2+61×3

　　=66+183=249（千米）.

【分析2】甲车所行的路程加上乙车所行的路程，即得两城相距多少千米.

【解法2】甲车共行了几小时？

　　2+3=5（小时）

　　甲车共行了多少千米？

　　33×5=165（千米）

　　乙车行了多少千米？

　　28×3=84（千米）

　　两城相距多少千米？

　　165+84=249（千米）

　　综合算式： 33×（2+3）+28×3

　　=33×5+28×3=165+84=249（千米）.

【分析3】假设甲车开车时乙车也同时出发，即两车同时行5小时相遇.这样两车共行的路程比两城的实际距离多算了2个28千米.由此可求出两城间的实际距离。

【解法3】假设两车同时发车，共行了几小时相遇？

　　2+3=5（小时）

　　两车同时行5小时共行多少千米？

　　（33+28）×5=305（千米）

　　乙车比实际多计算了多少千米？

　　28×2=56（千米）

　　两城相距多少千米？

　　305-56=249（千米）

　　综合算式： （33+28）×（2+3）-28×2

　　=61×5-28×2

　　=305-56=249（千米）

【分析4】甲车先开出2小时，可假设为比实际晚开出1小时；而乙车假设为比实际早开出1小时.这样原题就假设为：甲乙两车同时相向而行，经过4小时相遇.但两车所行路程的和比两城实际距离少33-28=5（千米）.

【解法4】 （33+28）×（3+2÷2）+（33-28）

　　=61×4+5=244+5=249（千米）

　　答：两城相距249千米.

【评注】解法1和解法2是一般方法，容易想到，易于理解和掌握.解法3和解法4是假设法，思路新颖，算式看起来麻烦，但运算并不麻烦.

例6 A、B两站间的铁路长490千米，甲乙两列火车同时从这两站相对开出，甲车每小时行72千米，乙车每小时行68千米。相遇时，甲、乙两列火车各行了多少千米？

【分析1】根据“两地距离÷速度和=相遇时间”求出两车的相遇时间，再用两车的速度分别乘以相遇时间，即可分别求出两车各行了多少千米.

【解法1】两车经过几小时相遇？

　　490÷（72+68）=490÷140=3.5（小时）

　　甲上行了多少千米？

　　72×3.5=252（千米）

　　乙车行了多少千米？

　　68×3.5=238（千米）

　　综合算式：甲车： 72×[490÷（72+68）]

　　=72×[490÷140]

　　=72×3.5=252（千米）

　　乙车：490-252=238（千米）.

【分析2】根据两列火车所行驶的时间相等，列方程解.

【解法2】设甲车行了x千米，则乙车行驶的路程为490-x.

　　140x=72×490

　　x=

　　x=252

　　乙车行程为：490-252=238（千米）.

【分析3】因为“路程÷速度=时间”，时间一定，所以路程和时间成正比例，即甲乙两车的速度比恰是甲乙两车所行路程的比.由此可先求甲乙两车速度比，再按比例分配的方法分别求出甲乙两车各行的路程.

【解法3】甲乙两车所行路程的比？

　　72∶68=18∶17

　　甲车行了多少千米？

　　490×=490×=252（千米）

　　乙车行了多少千米？

　　490×=490×=238（千米）

　　综合算式：甲车：490×=252（千米）

　　乙车：490×=238（千米）.

　　答：相遇时，甲车行252千米，乙车行238千米.

【评注】解法1是通常解法，易于理解和掌握.解法3是按比例分配解法，思路巧妙，运算简便，是本题的最佳解法.

例7 甲、乙两列火车同时从相距630千米的两地相对行驶，6小时相遇.甲车每小时比乙车快5千米，问两车的速度各是多少？

【分析1】先求甲乙两车的速度和，再用速度和加上5千米，就等于甲车2小时的行程，再除以2，即得甲车速度.用甲车速度减去5千米，即得乙车速度.

【解法1】甲乙两车的速度和是多少？

　　630÷6=105（千米）

　　甲车速度是多少？

　　（105+5）÷2=110÷2=55（千米）

　　乙车速度是多少？

　　55-5=50（千米）

　　综合算式：甲车： （630÷6+5）÷2

　　=（105+5）÷2=110÷2=55（千米）

　　乙车：55-5=50（千米）.

【分析2】假设乙车速度与甲车速度相同，那么相遇时，甲乙两车所行的路程和比两地实际距离多计算了5×6=30（千米）.再用630千米加上30千米的和除以6小时，即得甲车2小时的行程.由此可先求甲车速度；再求乙车速度.

【解法2】假设乙车与甲车速度相同，共多计算多少千米？

　　5×6=30（千米）

　　甲车2小时行多少千米？

　　（630+30）÷6=660÷6=110（千米）

　　甲车每小时行多少千米？

　　110÷2=55（千米）

　　乙车每小时行多少千米？

　　55-5=50（千米）

　　综合算式：甲车：（630+5×6）÷6÷2

　　=660÷6÷2=55（千米）

　　乙车：55-5=50（千米）.

【分析3】假设甲车速度与乙车速度相同，那么两车所行路程的和比两地的实际距离要少5×6=30（千米）.用630千米与30千米的差除以6小时，即得乙车2小时的行程.由此可先求乙车速度，再求甲车的速度.

【解法3】假设甲车与乙车速度相同，共少计算多少千米？

　　5×6=30（千米）

　　乙车2小时行多少千米？

　　（630-30）÷6=600÷6=100（千米）

　　乙车每小时行多少千米？

　　100÷2=50（千米）

　　甲车每小时行多少千米？

　　50+5=55（千米）

　　综合算式：乙车：（630-5×6）÷6÷2

　　=600÷6÷2=50（千米）

　　甲车：50+5=55（千米）.

【分析4】根据“速度和×相遇时间=两地距离”可列方程解.

【解法4】设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x+5）千米.

　　（x+5+x）×6=630

　　2x+5=630÷6

　　2x=630÷6-5

　　x=（630÷6-5）÷2

　　x=50

　　x+5=50+5=55

　　答：甲车每小时行55千米，乙车每小时行50千米.

【评注】解法1是通常解法，易于理解和掌握.解法2和解法3是假设法，易于理解，运算简便，是较好的解法.解法4的方程解法还可设甲车速度为x，读者可试试.

例8 客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米.已知货车的速度是客车的，甲、乙两城相距多少千米？

【分析1】由题意可知，3小时内货车比客车少行30千米，由此可求出两车的速度差，再除以对应分率（1-），就可求出客车的速度，再求出乙车速度，最后根据“速度和×相遇时间=两地距离”求出甲、乙两城相距多少千米.

【解法1】货车每小时比客车少行多少？

　　30÷3=10（千米）

　　客车每小时行多少千米？

　　10÷（1-）=40（千米）

　　货车每小时行多少千米？

　　40-10=30（千米）

　　甲、乙两城相距多少千米？

　　（40+30）×3+30=240（千米）

　　综合算式： 30÷3÷（1-）×（1+）×3+30

　　=30÷3÷××3+30

　　=40××3+30=240（千米）.

【分析2】因为“路程÷速度=时间”，而时间一定，所以两车行驶的路程和两车的速度成正比例，即货车和客车的速度比就是它们所行路程的比。把转化为3∶4，即货车和客车的路程比.又知两车所行路程的差是30千米，由此可求出两城相距多少千米？

【解法2】 30÷（4-3）×（3+4）+30

　　=30÷1×7+30=240（千米）.

【分析3】根据“客车所行路程减去货车所行路程等于30千米”这一等量关系列方程，先求出两车的速度，再用速度和乘以相遇时间加上30千米，即得甲乙两城相距多少千米.

【解法3】设客车每小时行x千米.

　　3x-x×=30

　　（x-x）×3=30

　　x=10

　　x=40

　　两城距离：（40÷+40×）×3+30=240（千米）.

　　答：甲乙两城相距240千米.

【评注】解法1是基本解法，易于理解，但计算较繁.解法3和解法1的数量关系及思路是基本相同的.解法2的思路简捷，运算也简便，是本题的最佳解法.

例9 快车从甲城开往乙城，需要6小时.慢车从乙城开往甲城，每小时行42.5千米.两车同时开出2小时还相距132千米，快车每小时行多少千米？

【分析1】快车行全程需6小时，它已行了2小时，再剩下的路程，快车再行4小时就行完全程.也就是说，慢车2小时行驶的路程与132千米的和，快车用4小时即可行完.由此可求出快车每小时行多少千米.

【解法1】慢车2小时行了多少千米？

　　42.5×2=85（千米）

　　快车4小时可行驶多少千米？

　　85+132=217（千米）

　　快车每小时行多少千米？

　　217÷（6-2）=54.25（千米）

　　综合算式： （42.5×2+132）÷（6-2）

　　=（85+132）÷4

　　=217÷4=54.25（千米）.

【分析2】因为快车行全程需要6小时，已行了2小时，而快车没行的路程是已行路程的（6-2）÷2=2（倍），由此可求出快车2小时行多少千米，再求每小时行多少千米.

【解法2】快车没行的路程有多少千米？

　　42.5×2+132=85+132=217（千米）

　　快车没行的路程是已行路程的几倍？

　　（6-2）÷2=2（倍）

　　快车已行了多少千米？

　　217÷2=108.5（千米）

　　快车每小时行多少千米？

　　108.5÷2=54.25（千米）

　　综合算式： （42.5×2+132）÷[（6-2）÷2]÷2

　　=（85+132）÷[4÷]÷2

　　=217÷2÷2=54.25（千米）.

【分析3】因为快车每小时行全程的，2小时就行全程的.快车没行的路程是全程的1-=，用快车没行的路程除以，即得全程有多少千米，再除以6小时，即得快车速度.

【解法3】快车还没行的路程有多少？

　　42.5×2+132=85+132=217（千米）

　　甲乙两城相距多少千米？

　　217÷（1-）=217÷=325.5（千米）

　　快车每小时行多少千米？

　　325.5÷6=54.25（千米）

　　综合算式： （42.5×2+132）÷（1-）÷6

　　=（85+132）÷÷6

　　=217××=54.25（千米）.

【分析4】根据“两城距离减去快车已行路程等于快车没行的路程”这一等量关系列方程解.

【解法4】设快车每小时行x千米.

　　6x-2x=42.5×2+132

　　4x=217

　　x=54.25

　　答：快车每小时行54.25千米.

【评注】解法3是一般解法，计算较繁.解法4的等量确定恰当，运算也较简便.解法1的思路更简捷，更巧妙，运算也更为简便，是本题的最佳解法.

例10 一辆小汽车和一辆货车同时从相距432千米的两地相对开出，小时相遇.已知小汽车和货车速度的比是9∶7，小汽车和货车每小时各行多少千米？

【分析1】先用两地距离除以相遇时间，即得小汽车和货车的速度和，再运用按比例分配的方法，把速度和按9∶7进行分配，即可求出小汽车和货车每小时各行多少千米.

【解法1】两车的速度和是多少？

　　432÷=96（千米）

　　货车每小时行多少千米？

　　96×=42（千米）

　　小汽车每小时行多少千米？

　　96×=54（千米）

　　综合算式：小汽车： 432÷×

　　=432××（千米）

　　货车： 432÷

　　=432×=42（千米）

　　或：54÷9×7=42（千米）

【分析2】因为“路程÷速度=时间”，而时间一定，所以两车所行的路程和它们各自的速度成正比例.因此，两车的速度比等于两车所行的路程比.由此可把432千米按9∶7进行分配，即可求出两车的速度各是多少.

【解法2】小汽车共行了多少千米？

　　432÷（9+7）×9=432÷16×9=243（千米）

　　小汽车每小时行多少千米？

　　243÷=54（千米）

　　货车共行了多少千米？

　　432÷（9+7）×7=189（千米）

　　货车每小时行多少千米？

　　189÷=42（千米）

　　综合算式：小汽车： 432×÷

　　=432×=54（千米）

　　货车：54÷9×7=42（千米）.

【分析3】把9∶7转化为，即货车的速度是小汽车的，设小汽车的速度为x，那么货车的速度为x.根据“速度和×相遇时间=两地距离”这一等量关系，列方程求出两车的速度各是多少.

【解法3】设汽车每小时行x千米.

　　（x+x）×=432

　　x+x=432÷

　　（1+）x=432×

　　x=96÷（1+）

　　x=54

　　货车：54×=42(千米）.

　　答：小汽车每小时行54千米；货车每小时行42千米.

【评注】本题是行程和比的知识综合运用的应用题.解此类题的关键是注意对已知条件的转化理解.如解法3是把比转化为分数来理解，使解题思路进行了转换.同时，还要注意对知识的综合运用，如解法1运用了行程应用题和按比例分配的知识，解法2运用了正比例的意义和按比例分配的知识.比较以上三种解法，解法1是本题最佳解法.