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　　整数是小学阶段主要的学习内容．学生对整数的有关知识的学习，最感困难的是多位数的读写，特别是含有0的多位数，最容易读错和写错．整数的知识内容还应包括“数的整除”，它涉及的概念与法则较多，如约数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等概念，还有求最大公约数、最小公倍数、分解质因数等方法．对小学生来说有些概念比较抽象，难以理解和记忆．其中有的很容易混淆，因此解题时经常出错．

    例1 判断题

　　（1）整数就是自然数和0．（ ）

　　（2）自然数就是1、2、3、4、5等等这样的一列数．（ ）

　　（3）最小的一位数是0．（ ）

　　（4）3是由3和0组成的．（ ）

    [解]（1）×（2）×（3）×（4）×

    [常见错误]

　　（1）√（2）√（3）√（4）√

    [分析]

　　小学教科书里曾说过“自然数和零都是整数”，但这并不是给“整数”下的一个定义，而只是指出自然数和0都属于“整数”的范围．然而，有些人以为这就是整数的定义，并把它倒过来理解，说成“整数就是自然数和0”，这样就把整数这一概念的外延缩小了，因为整数不仅包括自然数和0，而且还包括负整数。

　　小学教科书里说“我们数物体时，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11…叫做自然数．”这里自然数只指这一列数中的一个个的数，1、2、3、4、5等等这样的一列数叫做“自然数列”，“自然数”与“自然数列”是两个不同的概念。

　　十进位制记数法，是利用1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这十个数字符号，结合数位来记数的，并且规定了一个数最左边的数位（数的最高位）不能为0，即不允许出现0253、00368的形式（编码除外）的数．像0253、00368之类的数码也不能称之为四位数、五位数．否则，对于一个数就无法确定它是几位数，也无法正确记数了．对于一位数来说，它的最高位是个位，依据最高位不应为0的规定，最小的一位数就当然是1，而不是0了。

　　数的组成是在数数的基础上产生的，3是1和2组成或2和1组成，这里的1是1个计数单位，2是2个计数单位．0虽然也是一个数，但它不是计数单位，也不含计数单位．无论多少个0，都不可能组成一个自然数．也就是任何一个自然数，都不可能由0来组成。

    例2 填空题

　　（1）个级的单位是（ ），亿级的单位是（ ）。

　　（2）和一万相邻的两个数分别是（ ）和（ ）。

    [解]（1）个级的单位是（一），亿级的单位是（亿）。

　　（2）和一万相邻的两个数分别是（9999）和（10001）。

    [常见错误]

　　（2）和一万相邻的两个单位分别是（十万位）和（千位）。

　　[分析]

　　错解（1）的前种错误是把计数单位误填成了数位，这主要是对数位和计数单位的概念不清楚造成的．后种错误则把各个数位上的计数单位与每一级的计数单位混淆了．个级的单位应该是“一”，万级的单位是“万”，亿级的单位是“亿”。

　　错解（2）是把数与数位混淆了，概念不清是造成解题错误的主要原因，还有可能是由于学生粗心所致，因为题中的一万是用汉字表示的，没有用阿拉伯数字10000表示，因此容易产生错觉，把“一万”误认为是“万位”了，和万位相邻的两个数位就是“十万位”和“千位”。

　（2）多位数读写

　　[解]（1）写作53006000；是5300.6万。

　　（2）是605400；记作61万。

　　[常见错误]

　　（1）写作536000，把五千三百个万错写成五十三个万。

　　（2）是6000005000400，题目条件本是一个数的各数位的值是多少，而这里却错误地按三个数的组成来写；记作60万，没有把千位上的数“5”入上来。

　　[分析]

　　产生上述错误的原因是对数位概念不清，没有掌握数的组成．如（1）题是分为两级说的，万级里是五千三百个万，个级里是六个千，如果我们按级先写出万级的五千三百个万，再写出个级的六个千，合起来就是53006000．（2）题是按数位说的，如果我们记住十万是右起第六位，千是右起第四位，百是右起第三位，就很容易写出605400．关键是要记住下面的数位顺序表（见5页表）。

　　至于要改写成以万为单位的数，一定要看清题目的要求，（1）题只要改写成以万为单位的数，要得精确值．那么只要在万位数右下角记上小数点，再把小数末尾的零去掉．（2）题要四舍五入到万位，只要得近似值，那么必须根据千位上的数四舍五入。

　　例2

　　（1）202005400读作（ ）。

　　（3）5046008000读作（ ）。

　　（4）805032005读作（ ）。

　　[解]（1）读作二亿零二百万五千四百。

　　（2）写作100005030，读作一亿零五千零三十。

　　（3）读作五十亿四千六百万八千。

　　（4）读作八亿零五百零三万二千零五。

　　[常见错误]

　　（1）读作二亿二百万五千四百。

　　（2）读作一亿五千零三十。

　　（3）读作五十亿零四千六百万零八千。

　　（4）读作八亿零五百零三万二千零零五。

　　[分析]

　　产生上述错误的原因是因为没有掌握数中含“0”的读数法则，现行小学数学教材规定：一个数中间有一个0或连续有几个0，都只读一个零，但每一级末尾的0不必读出来．像202005400中，万位、十万位、千万位上的几个0都是数中间的0，但万位、十万位的两个0是万级末尾的0，就不必读出来了，只要读出千万位上的0；5046008000中所有的0都是级末尾的0，都不要读出来；805032005中十位、百位上的两个0就只要读一个零；100005030中连续的四个0只要读一个零。

　　纠正这种错误最好的办法是按级来读，每级开头和中间的0要读，每级末尾的0不读．如读202005400时，亿级读二亿，万级读零二百万（读开头的0，不读末尾的0），个级读五千四百，即二亿零二百万五千四百。

　　例3 380704005读作（ ）。

　　[解]读作三亿八千零七十万四千零五。

　　[常见错误]

　　[分析]

　　这里都把最高位定错而读错了．很多学生读多位数时，都是先从个位起，按个、十、百、千、万…一直数到最高位，再从最高位往下读，因为数位较多，这样很容易数错，因此造成读数错误．为了定准最高位，首先可把多位数按级分开，然后按级读数，就不会出现上述错误．如读380704005，就可分为380704005三级（或每级间作一个记号），就能很快确定3是在亿位，读作三亿八千零七十万四千零五。

　　另外，按多位数中记分节号的习惯，是三位一节，与四位一级不同，如果使用分节号，记清楚分节号前面的数位分别是千、百万、十亿，也能很快确定最高位在什么位．如380，704，005．记上分节号后，就能确定3在亿位。

　　例4（1）九千万零二百零八写作（ ）。

　　（2）十五亿七千零六万零三百写作（ ）。

　　（3）三十亿零四十七万二千写作（ ）。

　　（4）十亿零三十万七千五百写作（ ）。

　　[解]（1）写作90000208。

　　（2）写作1570060300。

　　（3）写作3000472000。

　　（4）写作1000307500。

　　[常见错误]

　　（1）写作90208，或：9000208。

　　（2）写作157060300。

　　（3）写作30472000，或：300472000。

　　（4）写作10307500。

　　[分析]

　　我们读一下上面写错的各数就会发现（如90208读作九万零二百零八，10307500读作一千零三十万七千五百），这些数都不是原来的数了。

　　产生上述错误的原因是：第一，没有记清数位顺序表；第二，没有掌握按级写数的法则；第三，对于零的读写法则产生混淆．如写九千万零二百零八，首先要定下“9”是在千万位，再定出“2”是在百位，“8”在个位，而其他数位上都是0，就能写出90000208．如果按级写，先确定这个数有万级和个级，万级是9000万，个级是0208．再合起来就是90000208，这里关键是要写出千位上的0，也就是说，每级必须写出四位数．再如写十亿零三十万七千五百，先确定这个数有亿级、万级和个级，亿级是10亿，这个零不要漏写．万级是三十万，这是写数中的难点，它的千万位、百万位都是0，万位也是0，并且前两个0只读了一个零，后一个零没有读出来，因此这些零很容易漏写而产生错误，万级正确的写法是0030， 个级是7500．所以这个数应写成1000307500．这里必须强调的是，由于读数时，数中间有一个0或者连续几个0都只读一个零，而写数时所有的0都要写出来，所以写数时常产生少写0的错误．因此，为了防止产生上述错误，写数时要注意两点：第一，要一级一级地写；第二，哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写0。

　　例5（1）最小的四位数和最大的三位数的差是（ ）。

　　[解]（1）1000-999=1。

　　（2）205789．987520。

　　[常见错误]

　　（1）1111-999=112，或1000-900=100。

　　（2）257890，或025789．908752。

　　[分析]

　　先要弄清数位和位数的概念，把数字按要求排列在一定的位置上，这些数字就组成一个数，我们就把各个数字所占的位置叫做数位．而位数是指一个整数所含有数位的个数，这是解答这类题必须具备的基本知识．产生上述错误的主要原因是对于“0”认识模糊，0是表示没有，但它又能“占位”，如0不叫一位数，而10叫做两位数，100叫做三位数，而01、001中的0又没有意义，它们不是两位数和三位数．所以025789不是最小的六位数．1000是最小的四位数，1111不是最小的四位数，999是最大的三位数，900虽是三位数，但不是最大的．（2）题的解答，因为相邻两个数位间的进率都是10，那么写出最小的六位数时，一定要把非零的最小数字作最高位，再从小到大依次写出各位数得205789．而要写出最大的六位数时，一定要把最大的数字作最高位，再从大到小依次写出各位数得987520。

　　（3）数的整除

　　例1（1）下列算式中，能整除的算式是（ ）。

　　（2）判断题：18能被0.3整除（ ）。

　　[解]（1）24÷6。

　　（2）×

　　[常见错误]

　　（1）1.5÷0.5，10÷4，24÷6。

　　（2）√

　　[分析]

　　产生上述错误的原因是不明白整除必须具备三个条件：①整数除以自然数；②商是整数；③余数为0．1．5÷0.5不合第①条，10÷4不合第②③条，18÷0.3也不合第①条，所以都不能叫做整除．只有24÷6=4，才叫做24能被6整除．

　　例2 分解质因数

　　（1）把180分解质因数。

　　（2）把60分解质因数。

　　180=2×2×3×3×5． 60=2×2×3×5。

　　[常见错误]

　　180=4×3×3×5，60=2×2×15，60=1×2×2×3×5。

　　[分析]

　　产生上述错误的主要原因是对于分解质因数的概念不清．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．因此，这些相乘的因数必须是质数，而180=4×3×3×5和60=2×2×15中的4和15都是合数．60=1×2×2×3×5中的1既不是质数，也不是合数．这是在短除时没有用质数去除或除得的商还不是质数的缘故．所以，把一个合数分解质因数，一定要用能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止；然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

　　例3 求最大公约数和最小公倍数

　　（1）12和8的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。

　　（3）4、6和9的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。

　　（4）6、9和15的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　[解]（1）4，24。

　　（2）12，144。

　　（3）1，36。

　　（4）3，90。

　　（5）10，11，12.1，660。

　　[常见错误]

　　（1）2，48．或24，4。

　　（2）4，432．或144，12。

　　（3）6，36。

　　（4）1，810。

　　（5）1，1320。

　　[分析]

　　（1）（2）题的第一种错误产生的原因是因为在求最大公约数和最小公倍数的过程中，只完成了下列步骤：

　　上面6和4，9和12都不是互质数，还应该用它们的公约数继续去除，直除到商为互质数为止．否则得到的公约数不是最大的，公倍数也不是最小的．

　　（1）（2）题的第二种错误产生的原因是对最大公约数和最小公倍数的概念不清，误认为大数就是最大公约数，小数就是最小公倍数．所以，一定要先区分约数和倍数的概念。

　　（3）题的情况就比较复杂了，因为求三个数（或三个以上的数）的最大公约数和最小公倍数的方法，与求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法有些不相同．本题最大公约数与最小公倍数的求法分别是：

　　因为除1外，没有一个自然数能同时被4、6、9整除，所以4、6和9的最大公约数是1.4、6和9的最小公倍数是36。

　　求最大公约数时，要用能整除每个数的约数去除，而求最小公倍数时，只要有两个数还有公约数就要继续往下除，直至除到两两互质为止．如果不能区分这一点，就会误认为它们的最大公约数是6。

　　（4）题没有找出6、9和15的公约数3，所以求出的1和810都是错误的．（5）题由于10和12不是互质数，求三个数的最小公倍数时应用2去除，因此，最小公倍数是660，不是1320．即：

　　10、11和12的最小公倍数为2×5×11×6=660。

　　例4 填空题

　　（2）能同时被2、3、5整除的最小的数是（ ）。

　　（3）10以内不是偶数的合数是（ ）；不是奇数的质数是（ ）。

　　（4）A既能整除12，又能整除36，A最大应该是（ ）。

　　[解]（1）（7，13）是质数，（8，15，24，36）是合数，（7，15，13）是奇数，（8，24，36）是偶数。

　　（2）是（30）。

　　（3）是（9）；是（2）。

　　（4）是（12）。

　　[常见错误]

　　（1）（7，15，13）是质数，（8，24，36）是合数。

　　（2）是（15）或是（60）。

　　（3）是（4，6，8，9），是（2，3，5，7）。

　　（4）是（36）、（72）、（144）…

　　（5）最小的质数是（1），合数是（2），奇数是（3），偶数是（4）。

　　例5 判断题

　　（1）互质数没有公约数．（ ）

　　（2）一个自然数不是质数就是合数．（ ）

　　（3）在自然数列中，相邻的两个数一定互质．（ ）

　　（4）所有的偶数都是合数．（ ）

　　（5）如果两个数是互质数，那么这两个数必定都是质数．（ ）

　　（6）最小的质数是1．（ ）

　　（7）两个数的公约数，一定小于这两个数中的每个数．（ ）

　　（8）两个质数的积一定是合数．（ ）

　　[解]（1）×（2）×

　　（3）√（4）×

　　（5）×（6）×

　　（7）×（8）√

　　[常见错误]

　　[分析]

　　上面例4和例5的解答错误都是属于概念性错误，因为在数的整除这一章教材中，概念很多，并且这些概念既有联系，又有区别，很容易混淆．下面我们分类来分析上述各题的解答错误。

　　1．约数和倍数

　　例4（2）题把能同时被2、3、5整除的最小的数写成是15或60，前者不能被2整除，后者虽说同时能被2、3、5整除，但不是最小的．所以都是错误的．要能被2、3、5整除，且是最小的数，显然就是求2、3、5的最小公倍数，2、3、5已是两两互质，所以最小公倍数为2×3×5=30。

　　例4（4）题把A最大填成36等，是因为把“A能整除12，又能整除36”错误理解为“A能被12整除，又能被36整除”．这和除法里的“除”和“除以”的区别是一个道理。

　　例5（7）题“两个数的公约数，一定小于这两个数的每个数”的说法是错误的，因为如果小数能整除大数，那么小数就是这两个数的最大公约数．它并不小于这两个数的每个数．如36和12的最大公约数就是12．

　　2．质数和合数、奇数和偶数

　　质数和合数是从约数的个数进行判断的，一个大于1的整数，如果只有1和它本身两个约数，就叫做质数；如果除了1和它本身以外还有其他的约数，就叫做合数．而奇数和偶数是从能否被2整除来进行判断的，能被2整除的叫做偶数；不能被2整除的叫做奇数．因为除2以外，所有的偶数都为合数，所有质数都为奇数，而又有许多奇数又为合数，所以很容易把质数与奇数、合数与偶数混淆．再有1是奇数，但1既不是质数又不是合数．如果这些概念不清楚就会出现解题错误。

　　例4（1）题把7、15、13看成是质数，就是因为把质数与奇数混淆了，7、15、13虽然都是奇数，但15又是合数。

　　例4（3）题虽然4、6、8、9都是合数，但其中仅有9不是偶数，所以不是偶数的合数只有9；2、3、5、7都是质数，但其中仅有2不是奇数．所以不是奇数的质数只有2。

　　例4（5）题，按定义来判断，因为1既不是质数，也不是合数；那么2是最小质数；1是奇数，那么3就不是最小的奇数；2是偶数，那么4也不是最小的偶数。

　　例5（1）题，因为任何两个数至少都有公约数1，那么不能说“互质数没有公约数”。

　　例5（2）（6）题，因为1既不是质数，又不是合数，所以“一个自然数不是质数就是合数”和“最小的质数是1”的判断都是错误的。

　　例5（3）题，因为在自然数列中，相邻的两个数都只有公约数1，所以它们“一定互质”的判断是正确的。

　　例5（4）题，因为2是偶数，但不是合数，所以“所有的偶数都是合数”的判断是错误的。

　　例5（5）题，互质数与质数是两个既有联系又有区别的概念．质数是对自然数分类而言，它是说明数的性质的概念，而互质数是说明数与数关系的一个概念，它和数本身的性质没有关系．只要两个数的最大公约数是1，这两个数就是互质数．因而可能这两个数都是质数，或一个质数一个合数，或两个数都是合数．如3和5、7和10，8和9等都是互质数．所以“如果两个数是互质数，那么这两个数都是质数”的判断是错误的。

　　例5（8）题，因为两个质数的积，它的约数除了1和它本身外，还有这两个质数一定是它的约数，所以“两个质数的积一定是合数”。